摘 要: 用开关电流技术实现 小波变换 ， 关键是小波滤波器的实现; 小波滤波器传输表达式可通过对小波基函数的有理逼近来获得。基于Pad 逼近的方法， 采用高斯函数族作为小波基函数， 对所选的高斯函数进行频域的有理分式逼近来获取小波滤波器传输表达式， 从数学上提出一种设计小波变换开关电流( SI)滤波器的 CAD 方法。结合SI的电流模信号特点， 利用双二次滤波器的性质， 用SI单元电路的级联结构来实现电路的灵活设计。设计举例给出了设计思路， MATLAB 仿真结果显示这种方法的可行性。
小波变换优于Fourier变换， 因其具有多分辨率和时频局域化的特点能聚焦到信号时段和频段的任意细节， 特别适合于处理非平稳信号。开关电流技术是一种新的模拟抽样数据处理技术， 与标准CMOS工艺兼容具有低电压、低功耗的特点， SI电路在速度、带宽、动态范围具有电压模式电路不可比拟的优势。小波变换理论与滤波器理论的关系密切， 无论是离散小波变换还是连续小波变换， 其实现都可归结到相应小波滤波器的实现。
1 系统框图及设计基本原理
提出设计小波变换S I滤波器的CAD 方法， 具体见框图1。先由用户选择小波基， 即确定高斯函数的参数， 以及采用其第N 阶导数作为小波基。然后， 选择Pad 逼近的方式， 得到时域或频域的有理分式之后， 可以利用SI滤波器的性质来用对应的SI单元电路的级联结构实现， 从而运用了SI技术的优点和性能优势。
使用Mat lab编程可以实现该CAD 系统， 它是一个窗口界面交互编程模式， 通过输入数据及点击菜单栏选择相应的菜单， 从而完成系统框图设计。采用M atlab可以实现Pad 逼近的小波基函数有理式逼近的算法， 通过从菜单输入高斯函数导数的阶数和尺度因子可以实现有理式表达式的CAD; 而SI电路具有模块化设计的特点同时开关电流滤波器的时间常数由晶体管的宽长比或时钟的频率决定， 实现基本小波滤波器后只需要调节时钟频率即可实现不同尺度的其他滤波器。
图1 系统框图
1. 1 开关电流技术
S I电路由受时钟控制的开关、电流镜等电路构成， 利用MOS器件栅- 源间电容存储效应实现对电流信号的处理。在实现线性离散电路系统设计时需要的基本单元有三个: 加法器， 乘法器和贮存单元;当用SI电路实现时， 其分别对应SI电路的基本单元为结点——电流信号的相加、比例电流镜和S&H(取样保持)单元， 这样使电路的设计可以模块化而大大简化电路的设计。利用SI基本单元可以组成积分器而实现不同品质因数的滤波器， 最终达到小波变换电路设计的目的。
另外， 用信号流程图的观点来理解S I基本电路， 可以使系统传输函数的SI实现更明了。如通用积分器的SI电路设计， 可由同向输入， 反向输入和放大输入叠加构成， 如图2所示。
输出电流为:
当i1 ( z ) = - i2 ( z ) = i( z ) /2， a1 = a2 = a 构成双线性积分器， Z 域传输函数为:
图2 通用积分器。
1. 2 小波基的选择
高斯函数的通用表达式：
式中a是参数， 定义δa(n) q 为δa ( t)的N 阶导数:
若
( a 取为一个具体值) 则函数δa (n) ( t )满足小波的可容许性条件， 可采用δa(n) ( t )作为小波基函数， 相应的函数f ( t)在尺度为b， 位置为t处的卷积型小波变换定义为:
可以证明， 其各阶导数也是满足小波函数的容差条件的， 采用高斯函数及其N 阶导数为母小波。
1. 3 有理式的Pad 逼近
Pad 逼近具有: ( 1)计算简便性——只要获得要逼近函数的Tay lor展开， 再求线性方程组就可以获得其有理逼近式; ( 2)应用广泛——只要函数可以被展成Taylor级数就可以获得其Pad 逼近式。这两个特点使Pad 逼近十分适合于小波滤波器的实现。滤波器的传输函数通常表示为有理分式， Pad 逼近就是从幂级数出发获得有理函数逼近式的一种十分有效而且简洁的方法， 其思想就是对一个给定形式的幂级数构造一个有理函数， 称之为Pad 逼近式， 使其Taylor级数展开有尽可能多的项与原来的幂级数相吻合。
Pad 变换的定义 如果存在有理分式函数PL ( s) /QL ( s) ∈ RL，M (PL ( s)与QM ( s)互质)满足：
及：
则称PL ( s) /QM ( s)为f ( s)在RL，M 中的Pad 逼近式， 记为[ L /M ] f ( s)， 或简记为[L /M ]。上面的定义给出了求已知函数f ( s)有理表达式逼近方法。若记:
QM ( s)乘以式( 3)， 并比较等式两边1， s， s2， ……， sL +M的系数， 可p， p 1， ……， pL 及q0， q1， ……， qM 的线性方程组(称为Pad 方程组):
及：
其中规定a ≡0， n < 0; qj ? 0， j > M。对方程组( 6)、( 7)求解， 可得到PL ( s)和QM ( s)的系数。根据测不准原理， 高斯函数的时间分辨率与频率分辨率的乘积可以达到理论的最小值， 这样， 用高斯函数族作为小波基函数， 在最大限度上解决了时宽和带宽不相容的矛盾， 在时域和频域均有较好的分辨率。
1. 4 双二次积分器的性质
在对小波函数的频域表达式进行Pad 变换后，就获得其频域的有理分式逼近。但是此时得到的表达式是S 域的， 而要运用S I基本单元模块电路， 就要对表达式进行变换来转化到Z 域， 这里可通过Z域综合法来实现。采用开关电流基本单元为模块的 CAD 设计可使电路设计在实现上模块化、直观化，便于灵活现实采用不同S - Z 转化( FD、BD、BL、LD I)时不同结构的电路。FD (前向差分映射) ， BD(后向差分映射) ， LDI(无损离散积分映射) ， BL(双线性积分映射)， 其中性能最好的是BL。
为了使电路的设计更加具有灵活性， 这里采用了S I双二次滤波器的性质。即对具有如下传输函数表达式的滤波器， 有：
其中w0 是滤波器的特征频率、Q 是品质因素。当a0、a1、a2 为不同的值时， 传输函数可以得到二阶低通， 二阶高通， 二阶带通， 二阶全通滤波器函数。而式( 8)又可以由图3所示的信号流程图来表示。
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