摘 要：从工程的角度论述了小波的基本特性、有限支集正交小波基的构造以及相应的离散小波变换算法，进而将小波分析法用于输电线路故障暂态行波信号的压缩，并对信号压缩比以及重构误差随压缩级数的变化规律进行了研究，旨在寻求一种信号压缩的自适应优化方案。文中所采用的算法具有可操作性。
关键词：离散小波变换； 输电线路； 暂态行波； 自适应信号压缩
中图分类号：TM 773▲
DISCRETE WAVELET TRANSFORM AND ITS APPLICATION TO COMPRESSION OF SIGNAL
OF FAULT INDUCED TRANSIENT TRAVELLING WAVES ON TRANSMISSION LINES
Chen Ping Xu Bingyin
Kehui Electric Co Ltd, Zibo 255031, China
Ge Yaozhong
Xi'an Jiaotong University, Xi'an 710049, China
Liu Hulian
Western Electric Power Co Ltd, Shenzhen 518052, China
Abstract：With the viewpoint of engineering, this paper describes the basic characteristics of wavelets and some concerned algorithms for construction of compactly supported orthogonal wavelet bases and realization of discrete wavelet transforms (DWT). After that, the discrete wavelet transform based approach is applied to compression of signal of fault induced transient travelling waves on transmission lines. To search an adaptive and optimal scheme for the signal compression, the varieties of the compression ratio and reconstruction error with the increase of the compression scale are studied. All algorithms adopted in this paper are controllable.
This project is supported by National Natural Science Foundation of China (No.59877020).
Keywords：discrete wavelet transform (DWT); transmission line; transient travelling waves; adaptive signal compression▲
0 引言
反应输电线路故障暂态行波信息的继电保护［1，2］和故障测距原理［3～11］因其动作速度快（小于10 ms）、测距精度高（误差小于1 km）以及适用范围广等优点，已经越来越受到广大继电保护科研和现场工作者的关注。
现代数字式行波保护和故障测距装置在测量点感受到的故障暂态电压和电流信号实质上是一种非平稳信号，其持续时间很短（几个毫秒），故障信息则主要蕴涵于各行波浪涌到来时所产生的信号奇异点中。为了不失时机地捕捉到行波信号，必须采用高速数据采集技术，为了同时监视多条线路（对于故障测距）并保存多次故障记录，必然会有大量的数据需要存储和远距离传输，而过多的数据会增加传输时间甚至影响传输可靠性。可见，对采集到的故障暂态行波信息实施压缩是非常必要的。
用故障暂态行波信号的奇异点来近似代替整个信号可以达到压缩的目的。为了准确提取出信号奇异点中的信息，必须对信号进行局部化分析。传统的Fourier分析法实质上是一种纯频域的全局分析方法，它无法考察信号在时域的局部特性。而具有“数学显微镜”之称的小波分析法［12］则是一种时频分析方法，它能够“聚焦”到信号的任意细节，从而实现对信号奇异性的最完美刻画。
小波分析方法已经初步用于电能质量扰动数据的压缩［13～15］，但信号压缩比与重构误差之间的矛盾没能得到较好的解决。本文将小波分析法用于输电线路故障暂态行波信息的压缩，并对信号压缩比以及重构误差随压缩级数的变化规律进行了研究，旨在寻求一种信号压缩的自适应优化方案。
1 小波分析的基本理论
1.1 小波概念［16］
所谓小波，实质是指一簇同时在时域和频域都局部化了的函数。从时域来看，小波具有振荡性和衰减性，并且其均值为零。通常，小波函数簇{Ψa,b(t)｜a∈R＼{0},b∈R}可以通过某单个函数Ψ(t)（称为母小波）的伸缩和平移而统一生成：
其中 系数
为能量归一化系数；a为伸缩因子，又叫尺度因子，它决定小波Ψa,b(t)的频域中心及带宽；b为时移因子，它与a一起决定小波的时域中心。
设a=2j，b=k 2j，j,k∈Z，则根据式（1）可以得到一簇在任一尺度j下呈离散分布的小波函数：
(2)
对一个给定信号进行小波分析，就是将该信号按某一小波函数簇展开，即将信号表示为一系列不同尺度和不同时移的小波函数的线性组合，其中每一项的系数称为小波系数（可以通过对信号实施小波变换求得），而同一尺度下所有不同时移的小波函数的线性组合则称为信号在该尺度下的小波分量。
由于小波分析能够同时刻画信号的时域和频域特性，因而是一种时频分析。此外，小波分析还具有可调的时频分辨率特性，这种特性对分析非平稳信号（如电力系统中的各种暂态信号）极为有用。例如，为了考察信号中的缓变暂态特性，可提取信号在较高尺度下的小波分量；而为了考察信号中的剧变暂态特性，则可提取信号在较低尺度下的小波分量。
如果进一步将小波分析纳入所谓多分辨分析［17］的框架中，则能够实现其“显微镜”特性。利用这种特性，就可以从信号的大致轮廓“聚焦”到信号的任意细节，从而实现对信号奇异性的最完美刻画。
1.2 小波构造
构造小波最系统的框架是多分辨分析理论［17］，它将小波函数的构造归结为两组滤波器系数的设计，并且存在以下关系［18］：
(3)
(4)
其中 h(n)具有低通滤波器特性；g(n)具有带通滤波器特性；φ(t)和Ψ(t)分别称为尺度函数和小波函数；n∈Z。
对于正交小波，两组滤波器系数之间存在以下关系［18］：
(5)
其中 上划线表示取共轭（下同）。
假定滤波器系数只有N（N为偶数）个非零值，则式（5）一般被改写为［19］：
(6)
在这种情况下，相应的尺度函数和小波函数具有紧支撑。
显然，如果已知滤波器系数h(n)以及g(n)，则尺度函数以及相应的小波函数可以通过迭代方法构造出来，其中尺度函数的初始表达式可以取为区间［0，1］的特征函数，即：
反过来，通过对尺度函数以及相应的小波函数施加一系列约束条件，也可以唯一确定相应的滤波器系数。为了构造具有紧支撑的正交小波，这些条件可以归纳为以下3类［19］。
a.归一化条件：
(8)
b.正交性条件：
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