图3.9 信号矢量变化过程
对于过渡区第i个采样点，I 和Q 值分别为：
， i＝1、2、……48 （3.11）
， i＝1 、2、……48 （3.12）
在求 和 过程中同样要不断调用余弦函数c（i），也可以列出波形成形后出
和 ，如表3.9：
表3.9 输出 和 的调用表
i 1 2 3 4 5 6 7 8
0.99817 0.9927 0.9836 0.97092 0.9547 0.93503 0.91198 0.88565
0.00075687 0.0030242 0.0067924 0.012045 0.01876 0.026909 0.036455 0.04736
i 9 10 11 12 13 14 15 16
0.85616 0.82363 0.7882 0.75002 0.70925 0.66608 0.62068 0.57325
0.059575 0.07305 0.087725 0.10354 0.12042 0.1383 0.15711 0.17675
i 17 18 19 20 21 22 23 24
0.52399 0.47312 0.42085 0.3674 0.31301 0.2579 0.20232 0.1465
0.19715 0.21822 0.23987 0.26201 0.28454 0.30736 0.33038 0.3535
i 25 26 27 28 29 30 31 32
I
0.090678 0.035096 -0.02001 -0.074402 -0.12785 -0.18012 -0.23099 -0.28025
0.37662 0.39964 0.42246 0.44499 0.46713 0.48878 0.50985 0.53025
i 33 34 35 36 37 38 39 40
-0.32768 -0.37308 -0.41625 -0.45702 -0.4952 -0.53063 -0.56316 -0.59265
0.54989 0.5687 0.58658 0.60346 0.61928 0.63395 0.64742 0.65964
i 41 42 43 44 45 46 47 48
-0.61898 -0.64203 -0.6617 -0.67792 -0.6906 -0.6997 -0.70517 -0.707
0.67054 0.68009 0.68824 0.69495 0.70021 0.70398 0.70624 0.707
然后用同样的方法产生所需要的π/4QPSK信号。
（3）码元相位跳变为-
设载波峰值为1，前一码元的矢量相位为0，则本码元矢量相位为- ，即从
（1， 0）跳到（0.707，-0.707），过渡区采用余弦函数过渡，信号矢量变化过程如图3.10：
图3.10 信号矢量变化过程
一个码元要采样48个点，对于过渡区内的第i个采样点，I 和Q 值分别为：
， i＝1、2、……48 （3.13）
， i＝1、2、……48 （3.14）
在求所需要的π/4QPSK信号时，同样要调用上面提到的两个函数。
（4）码元相位跳变为-3
设载波峰值为1，前一码元的矢量相位为0，则本码元矢量相位为-3 ，即从（1，0）跳到（-0.707，-0.707），过渡区采用余弦函数过渡，信号矢量变化过程如图：
3.3 信号矢量变化过程
一个码元的过渡区共要采样48个点，对于过渡区内的第i个采样点，I 和Q 值分别为：
， i＝1、2、……48 （3.15）
， i＝1、2、……48 （3.16）
在求所需要的π/4QPSK信号时，同样要调用上面提到的两个函数。
再来考虑稳定区的情况，不妨先讨论初相θ =0时，可以列出下相位偏移量、I Q 与输入数据的关系，如图3.10所示，观察表达式的特征。
表3.10 相位偏移量、I Q 与数据之间的对应关系
数 据 Δθ θ =θ +Δθ
（I ，Q ）
00
（-0.707，-0.707）
11
（0，-1）
01
（0.707，0.707）
10
¬¬0 （1，0）
… … … … … … … …
通过上表可以求出：
当码元为00时，
，其中i=1、2、3…16； （3.17）
当码元为11时，
， 其中i=1、2、3…16； （3.18）
当码元为01时，
，其中i=1、2、3…16； （3.19）
当码元为10时，
，其中i=1、2、3…16。 （3.20）
通过计算可以得到，（3.5）～(3.8)均是余弦函数，对于稳定区内的波形，可知应该是余弦波。有了输入码元以及初始相位就可以很容易的求出波形成形后的I 和Q ，然后就是对周期载波进行16点采样，由于码元稳定区的I 和Q 是恒定的，因此求输出π/4QPSK信号的波形相对于过渡区要容易得多。稳定区共有7个周期载波，则共需要采样112个点，求出一个周期的16个采样值就可以了。
需要调用表（3.7）和表（3.8），再结合式3.12，先拿式（3.5）来加以说明如何得到采样值的，由于初相位为0 ，当输入码元为00时，可求出本码元的绝对相位是 ，通过表（3.4）可以求出当前波形成形I 和Q 为（-0.707，-0.707），可以得到式（3.17）
不断的调用就可以得到所求的采样值，不需要做乘法运算。即是第1个点输出为（-0.707）×0.38268+（-0.707）×0.92388，第2个采样点的输出为（-0.707）×0.70711+（-0.707）×0.70711，… …，第16个采样点的输出为（-0.707）×0.38268+（-0.707）×0.92388，然后由于是周期载波，其他6个周期的采样值与第一个周期的是相同的。也就得到了稳定区的信号输出。
再仔细观察（3.17）式可以得到：
由表（3.3）可知，码元00的偏移量编号为5，则可想到上式可表示成
=bc(N +i),其中i=1,2,… …112, N 是码元过渡区结束时采样点的相位偏移量量，bc(i)函数上面已经介绍过。
以上分析都是以初相位是0时的情况，当前一码元的矢量相位不是0时，上述算法仍然正确。此处假设前码元相位为0，只是为了叙述更加直观方便。在实际实现过程中初相位可以是八种情况中的任意一种。
上面分别介绍了求码元稳定区调制算法和过渡区的调制算法。数字化调制生成
π/4QPSK信号就有许多的优点，码元经过映射逻辑后不需要通过低通滤波器来进行波形成形，而是根据输入数据流与相位偏移量的关系得到矢量号，得到I 和Q ，这样就大大减少由滤波器引起的计算量。得到了I 和Q 后，该调制算法通过调用函数来实现周期载波的采样。另外，该算法还解决了在码元过渡区相位跳变的问题，使用余弦函数实现平滑过渡，这样得到的信号的高频分量很少，频谱性能更好。
第四章 π/4QPSK信号数字化调制的仿真
4.1 MATLAB简介
MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）之意，除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。它的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学,工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB来解算问题要比用C,FORTRAN等语言完全相同的事情简捷得多. 当前流行的MATLAB 5.3/Simulink 3.0包括拥有数百个内部函数的主包和三十几种工具包(Toolbox).工具包又可以分为功能性工具包和学科工具包.功能工具包用来扩充MATLAB的符号计算,可视化建模仿真,文字处理及实时控制等功能.学科工具包是专业性比较强的工具包,控制工具包,信号处理工具包,通信工具包等都属于此类. 开放性使MATLAB广受用户欢迎.除内部函数外,所有MATLAB主包文件和各种工具包都是可读可修改的文件,用户通过对源程序的修改或加入自己编写程序构造新的专用工具包.
在70年代中期,Cleve Moler博士和其同事在美国国家科学基金的资助下开发了调用EISPACK和LINPACK的FORTRAN子程序库.EISPACK是特征值求解的FOETRAN程序库,LINPACK是解线性方程的程序库.在当时,这两个程序库代表矩阵运算的最高水平. 到70年代后期,身为美国New Mexico大学计算机系系主任的Cleve Moler,在给学生讲授线性代数课程时,想教学生使用EISPACK和LINPACK程序库,但他发现学生用FORTRAN编写接口程序很费时间,于是他开始自己动手,利用业余时间为学生编写EISPACK和LINPACK的接口程序.Cleve Moler给这个接口程序取名为MATLAB,该名为矩阵(matrix)和实验室(laboratory)两个英文单词的前三个字母的组合.在以后的数年里,MATLAB在多所大学里作为教学辅助软件使用,并作为面向大众的免费软件广为流传. 1983年春天,Cleve Moler到Standford大学讲学,MATLAB深深地吸引了工程师John Little John Little敏锐地觉察到MATLAB在工程领域的广阔前景.同年,他和Cleve Moler Steve Bangert一起,用C语言开发了第二代专业版.这一代的MATLAB语言同时具备了数值计算和数据图示化的功能. 1984年,Cleve Moler和John Little成立了Math Works公司,正式把MATLAB推向市场,并继续进行MATLAB的研究和开发. 在当今30多个数学类科技应用软件中,就软件数学处理的原始内核而言,可分为两大类.一类是数值计算型软件,如MATLAB Xmath Gauss等,这类软件长于数值计算,对处理大批数据效率高;另一类是数学分析型软件 Mathematica Maple等,这类软件以符号计算见长,能给出解析解和任意精确解,其缺点是处理大量数据时效率较低.MathWorks公司顺应多功能需求之潮流,在其卓越数值计算和图示能力的基础上,又率先在专业水平上开拓了其符号计算,文字处理,可视化建模和实时控制能力,开发了适合多学科,多部门要求的新一代科技应用软件MATLAB.经过多年的国际竞争,MATLAB以经占据了数值软件市场的主导地位. 在MATLAB进入市场前，国际上的许多软件包都是直接以FORTRANC语言等编程语言开发的。这种软件的缺点是使用面窄，接口简陋，程序结构不开放以及没有标准的基库，很难适应各学科的最新发展，因而很难推广。MATLAB的出现，为各国科学家开发学科软件提供了新的基础。在MATLAB问世不久的80年代中期，原先控制领域里的一些软件包纷纷被淘汰或在MATLAB上重建。MathWorks公司1993年推出了MATLAB 4.0版，1995年推出4.2C版（for win3.X）1997年推出5.0版。1999年推出5.3版。MATLAB 5.X较MATLAB 4.X无论是界面还是内容都有长足的进展，其帮助信息采用超文本格式和PDF格式，在Netscape 3.0或IE 4.0及以上版本，Acrobat Reader中可以方便地浏览。 时至今日，经过MathWorks公司的不断完善，MATLAB已经发展成为适合多学科，多种工作平台的功能强大的大型软件。在国外，MATLAB已经经受了多年考验。在欧美等高校，MATLAB已经成为线性代数，自动控制理论，数理统计，数字信号处理，时间序列分析，动态系统仿真等高级课程的基本教学工具；成为攻读学位的大学生，硕士生，博士生必须掌握的基本技能。在设计研究单位和工业部门，MATLAB被广泛用于科学研究和解决各种具体问题。在国内，特别是工程界，MATLAB一定会盛行起来。可以说，无论你从事工程方面的哪个学科，都能在MATLAB里找到合适的功能。 介绍一下MATLAB的主要特点：
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