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电力系统环面分岔与混沌现象

电力系统环面分岔与混沌现象

点击数:7712 次   录入时间:03-04 11:38:25   整理:http://www.55dianzi.com   电工文摘
 摘  要导致电力系统混沌出现的一种途径——环面分岔(TB, Torus Bifurcation)现象,属于一种较为复杂的动态分岔现象,是由于一对复共轭弗罗奎特因子(FM, Floquet Multipliers)从其庞加莱截面(Poincaré section)上的单位圆同时穿出造成的。由环面分岔导致的混沌现象具有许多奇特的现象,如系统运动沿封闭环面分布、存在进一步的分岔与自组织现象以及有序与混沌共存等。该文利用非线性动力系统分岔理论和方法,针对一个简单的电力系统模型,对电力系统CTC现象的产生机理、表现形式和存在特点进行了详细的分析,所得结论有助于对电力系统混沌和各种失稳现象本质的理解。
    关键词电力系统;稳定性;混沌;分岔

1  引言
    随着电力系统稳定问题的深入研究,国内外学者相继发现电力系统中存在十分复杂的混沌现象。混沌是非线性系统中各参数相互作用导致的一种非常复杂的现象[1],它在电力系统中出现时,将伴随系统运行参数持续无规则的振荡,严重危害系统的运行安全。
    Abed[2,3]和Srivastava[4]根据由连续倍周期分岔(PDB, Period Doubling Bifurcation)导致混沌的途径[5~10]及这一现象出现的规律,致力于研究消除电力系统混沌现象的办法。其后,在研究小扰动稳定域与混沌现象的关系中,又发现了由于初始能量直接激发导致混沌出现的途径[11],但在实用的电力系统小扰动稳定域的研究中,可以不考虑混沌现象的存在[12]
    环面分岔(TB, Torus Bifurcation)也是导致非线性系统出现混沌现象的一种重要途径[1,13,14],且具有环面特性的混沌系统具有许多奇特的现象,但在电力系统混沌现象的研究中却从未被论及,为此,本文借助一个简单的3节点系统[15],对电力系统TB和经由TB出现的混沌现象的特点进行了分析。
    用非线性微分方程表示的动态系统为

式中   x为状态变量,l为分岔变量。
    平衡点方程为
   f(x,λ)=0                       (2)
    静态分岔研究的是式(2)解的数目随分岔变量l连续变化发生改变而出现的分岔现象;动态分岔研究的是与式(1)的闭轨、同宿和异宿轨道以及不变环面的产生、消失和变化相关的分岔现象。
    假设式(1)具有周期解,周期为T,当初始点为x0时,对应的解为xt = f (x0, t),则有

定义1 (Poincaré截面): 假设å是n维子空间URn)中n-1维超平面,且满足 ① f(x)与å满足横截性条件,即f(xn(x)¹0,xÎå,其中,n(x)为å在点x处的法线向量; ② å与受向量场f(x)控制的流f 相交于唯一点。则称超平面å构成向量场f(x)或流f的一个Poincaré截面。

    定义2 (Poincaré映射): 假设G为流f 的任意一条周期轨道,并与Poincaré截面å交于点p,由式(3)可得f(p, T)= p,即从p点出发的流,在一个周期的时间后,将回到p点。假设qÎUp附近的一个点,当2点足够接近时,由q点出发的轨迹将再次与Poincaré截面å相交,定义对应轨迹第一次返回点的映射为:P:U®å,则对于任意这样的点qÎU,在映射P的作用下有

式中  t(q)为由点q出发的流返回å所需的时间。通常情况下,如果p¹q,则t(qt(p)=T,但当p®q时,t(qt(p)。这里,将P:U®å称为流f的Poincaré映射。
定理1 (Floquet 定理): f(x)由式(1)给定,f为向量场f决定的流,则有

式中  *代表一个(n-1)´(n-1)维矩阵,通常不为零。
定义3  (Floquet 因子FMs): 定义f(x)的Poincaré映射雅可比矩阵DPp(p)的n-1个特征值为f(x)决定的流f的Floquet 因子FMs。
定理 2   mi (i = 1, 2, ¼, n-1)为流fn-1个FMs,若满足|mi|<1,i = 1, 2, ¼, n-1,则f 的任何周期轨道G都是渐进稳定的。
    当系统参数l连续变动时,若有FM绝对值变为大于1,式(1)所示系统将出现动态分岔现象,稳定周期解被破坏。根据FMs变化的不同,可能遇到3类动态分岔现象:环面折叠分岔(CFB, Cyclic Fold Bifurcation)、倍周期分岔(PDB)和环面分岔(TB),它们与非线性系统混沌现象的产生有着密切的联系,其中,① CFB:如图1中的①所示,有一个FM沿实轴从(1,0)穿出单位圆,将导致系统稳定的极限环破裂,周期轨迹发散。这同平衡点解曲线出现鞍节点(SNB)类似,只不过是SNB出现在系统稳定的极限环上; ② PDB:如图1中的 ② 所示,有一个FM沿实轴从(-1,0)穿出单位圆,这将导致系统周期解在此点处频率减半,周期加倍。当系统中不断出现PDB时,最终可能导致混沌现象产生; ③ TB:如图1中的③和 ④ 所示,有一对共轭的复FMs同时穿过单位圆,在这之后,系统的周期轨迹将出现圆环面振荡,即在近似正交的2个方向上出现周期不等的振荡运动,当2个周期不可约时,就可能导致系统出现混沌现象。在迭代系统中,TB又被称为内玛克分岔(Neimark Bifur-cation)[1,13]
3  由环面分岔导致的混沌现象(CTC)
3.1  2种环面分岔模式
    由图1可看出,当一对共轭的FMs穿出单位圆时,因其实部可正可负(见图中 ③ 和 ④ ),所导致的混沌现象也将不同。称导致TB发生的关键FMs的实部为正时称为模式a,反之为模式b。


平衡点曲线和局部分岔点[1,13],结果示于图2,表1给出了图2中各分岔点的情况。由图2、表1可看出,系统在Pm增大过程中先后出现了3次Hopf分岔(HB),其分岔点分别为 ① 、 ② 和 ③ ,其中, ① 为超临界, ② 和 ③ 为亚临界。分别对由点 ① 、 ② 和 ③ 开始的极限环曲线进行跟踪[16],可得到图2上部用实心方块(稳定极限环)和空心方块(不稳定极限环)表示的曲线,将曲线 ① ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ② 发展过程中关键的Floquet因子(FMs)变化情况绘出并示于图3。由图3可清楚地看到,由于一对FMs 的运动,导致系统出现4次环面分岔(TB): ⑤ 、 ⑥ 、 ⑦ 和 ⑨ ,且 ⑤ 属于模式a,其它3个属于模式b。为研究模式a,以图2所示点A

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