电力系统微机保护中开平方浮点算法的改进

杨鹏　史旺旺

摘　要：在分析开平方迭代算法收敛速度的基础上，提出了浮点数开平方的初值选取改进算法。该算法具有算法简单、迭代次数少、精度高等特点，较好地解决了开平方运算时间较长的问题。
关键词：开平方；迭代算法；微机保护
分类号：TM 77；TM 744　文献标识码：B
文章编号：1006-6047(2000)01-0007-02

Study on Square Root Algorithm in Microcomputer Protection

YANG Peng
（Polytechnic Institute of Yangzhou University,Yangzhou 225009,China）
SHI Wang-wang
（Polytechnic Institute of Yangzhou University,Yangzhou 225009,China）

Abstract：It presents a method of giving a starting value to improve Newton iteration of extracting square root.The conclusion shows its features of simplicity,high precision and timesaving.
Keywords：square root; iteration algorithm; microcomputer protection▲

0　前言

　　基于交流采样的电力系统微机测量和保护技术应用十分广泛，测量保护中常常要求计算基波电压、电流的有效值、功率和功率因数以及各谐波分量。全波傅氏算法因能滤去直流和各高次谐波分量，在微机保护中获得了广泛的应用。电压、电流有效值及全波傅氏算法的常见公式为

　　　　　　　　　　　　　　　(1)
　　　　　　　　　　　　　　　(2)
　　　　　　　　　　　　(3)
　　　　　　　　　　　　(4)
　　　　　　　　　　　　　(5)

　　上述公式中，N为每周期内采样点数；R(n)为电压的n次余弦分量；X(n)为电压的n次正弦分量；U_m(n)为n次谐波电压幅值；U，I为电压电流有效值。
　　可见，测量保护中的数据处理离不开开平方运算，开平方运算是非常耗时的算法。常见的开平方运算有牛顿迭代法和查表法^［1］。查表法的精度决定于表格区间的长度，为提高精度，就要增加表格长度，这将占用较多的微机内存，同时增加了查表时间。牛顿迭代法计算精度高，但如果初值选择不当，迭代次数将很多，耗时长。微机测量保护中电压、电流的动态变化范围很大，增加了初值的选择难度。本文根据浮点运算的特点，提出将浮点数的阶码和尾数分别处理，较好地解决了初值难以选择问题，迭代次数达到3次时就有很高的精度。

1　牛顿迭代法^［2］

　　开平方函数f(x)=x²-c=0的根的牛顿迭代公式为

　　　　　　　　　　　　　　　(6)

对(6)式配方，得：

　　　　　　　　　　　　　(7)
　　　　　　　　　　　　　(8)

(7)式除以(8)式得：

反复递推得：

　　　　　　　　　　　　　(9)

令，则对x₀＞0，｜q｜＜1，将q代入(9)式得k次迭代的相对误差为

　　　　　　　　　　　　　　(10)

　　由(10)式知，上述迭代算法是收敛的，收敛的速度完全取决于x₀的选择，x₀越接近真值，收敛速度越快。微机测量保护算法中很难确定电压、电流的变化范围，接近真值的初值较难选择，一般选固定初值，这将导致某些时候的收敛速度相当慢。

2　浮点算法的初值选择

2.1　浮点格式
　　浮点数由阶码和尾数组成，4字节的IEEE标准浮点格式为

上述格式的阶码寻址不方便，将格式改为

　　浮点数均按规格化方式存放，即尾数的最高位总为1，这样，对于尾数为M的规格化浮点数，有0.5≤M≤1.0。
2.2　初值选取
　　采用浮点格式表示的数的开平方可将阶码和尾数分开处理。设阶码为C，尾数为M的浮点数x=M×2^C，则。
　　若C为偶数，即C=2k，k为整数，则

　　　　　　　　　　　　　　　(11)

　　若C为奇数，即C=2k+1，k为整数，则

　　　　　　　　　　(12)

　　由(11)、 (12)式看到，浮点格式数的开平方可以转换为尾数的开平方，而规格化的尾数的变化范围为0.5～1.0，大大缩小了变化范围，减小了初值选择的困难。因0.5≤M≤1.0，则，若将初值选为1.0，按最坏的情况考虑，M=0.5，则，将q代入(10)式得迭代次数与相对误差的关系，见表1。

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