求取电力系统PV曲线的改进连续潮流法

求取电力系统PV曲线的改进连续潮流法

祝达康　程浩忠

　　摘要　阐述了用改进的连续潮流法求取电力系统的PV曲线。该方法通过增加一维潮流方程，消除了功率极限点附近的雅可比矩阵奇异的现象，获得精确的电压稳定极限和整支PV曲线。算法中考虑了系统的多项限制，并采用了预估校正技术，运算更加快捷精确，同时利用系统左特征矢量的性质获得系统临近崩溃时的最优控制方向,使该方法不但具有理论意义而且有实际应用价值。
　　关键词　电力系统　电压稳定　PV曲线　连续潮流法

AN IMPROVED CONTINUATION METHOD IN TRACING
PV CURVES OF POWER SYSTEMS

Zhu Dakang　Cheng Haozhong
Department of Electrical Engineering, Shanghai Jiaotong University
Shanghai, 200030 China

　　ABSTRACT　In this paper, an improved continuation method is presented to trace the PV curve of power systems. By using an augment equation, this algorithm can pass the "nose" point and get the whole PV curve without encountering the numerical difficulty of ill-conditioning. The predictor-corrector technique makes its computation fast. It is also presented a method of getting an optimum control direction when the system is near voltage collapse by using the characteristics of left eigenvector.
　　KEY WORDS　power system; voltage stability; PV curve; continuation method

1　引言

　　在电压稳定的研究中，PV曲线的准确求取可以获得系统电压稳定的功率极限值和电压临界值，因此具有重要意义。PV曲线通常通过不断增加负荷的连续潮流法求取。该方法的难点主要在于在接近极限点（鞍结分歧点）的时候，雅可比矩阵奇异，造成潮流不收敛。国内外学者为此作了大量研究工作。
　　解决此类病态问题的传统数学方法是通过一组2N＋1维的增广矩阵直接求取极限点。该方法虽然理论简单，但运算量大且对初值要求过于苛刻。近年来，求取PV曲线的方法主要集中在参数变换和改变收敛方向两个方面。参数变换主要通过对原潮流方程进行不同的恒等变换而改变系统极限点附近的雅可比矩阵的结构，转移鞍结分歧点，在不改变方程维数的情况下改进了极限点附近潮流的收敛性^{［1，2，3］}。参数变换法的缺陷在于它只能转移系统的鞍结分歧点而不能消除，同时在该点的转移方向上也无法控制，有时甚至会将分歧点转移到PV曲线的上半支，使潮流计算无法接近极限点。基于非线性数学的延拓法，在国内学者^［4］通过改变潮流收敛方向而使雅可比矩阵不再奇异的方法的基础上，本文提出一种改进方法，通过增加一维潮流方程，有效地消除了鞍结分歧点附近雅可比矩阵奇异的现象，可获得精确的电压稳定极限和比较完整的PV曲线。

2　算法说明

　　系统的潮流方程可用式（1）表示。式中λ为负荷增长率，b为负荷增长方式。

f(x)－λ^.b＝0　　　　(1)

　　连续潮流法是假设系统处于准静态的状态下，随负荷的缓慢增加，不断求解潮流方程，从而描绘出系统的PV曲线。常规潮流总是沿着PV曲线从上一个解向下一个解迭代收敛。在极限点附近，系统方程各变量的一阶偏导趋近于零，雅可比矩阵变得奇异。因此，只要合理地改变潮流方程的收敛方向，雅可比矩阵就可以不再奇异。为防止潮流迭代一次之后回到原常规方法的收敛方向上，不但要合理地进行预估而且必须增加一维潮流方程，使潮流从N＋1维空间向精确解收敛。该方法在数学上称为延拓法。文献［4］以式（2）为增广的潮流方程：

(2)

　　 式中增加的一维方程是潮流解与预估值的正交方程，如图1所示。Δλ和Δx_i是每次潮流迭代前的预估值，在迭代时是常量^［4］。该方法率先提出了利用改变收敛方向的方法解决极限点附近潮流不收敛的问题，但在实现上会有一些问题。首先，从图1中可以发现接近极限点后，预估值的正交平面可能与PV曲线无法相交（图中下标s和b分别表示小步长和大步长），此时式（2）无解，在步长稍大时该现象比较明显。其次，由于增广的雅可比矩阵增加的一维完全是常数矢量，所以新方程组只是在N＋1维空间中以不同的系统流形切面（N维超平面）向极限点逼近，并没能充分利用增加的一维空间。从这方面讲，该方法在极限点附近有可能迭代不收敛。此外，由于文献［4］的变步长方法依赖于常规雅可比矩阵形成的方程组。在其接近奇异时解方程的误差会造成预估点不准确，对其收敛性也有影响。

图1　延拓法示意图
Fig.1　Illustration of the continuation method

　　考虑以上几点，以弧长公式重新形成第N＋1维方程，并构造增广潮流方程：

　　也可以根据各节点的重要性不同分配权重，形成伪弧长公式并将其作为第N＋1维方程：

式中x₀和λ₀分别为PV曲线中上一个潮流解的电压值和负荷增长率；k_i为对各参量分配的权重。
　　新方程组对应的雅可比矩阵分别如下：

式中　J(X)为原来的雅可比矩阵。
　　有严格的数学理论证明^［5］，新的雅可比矩阵充分利用了增广的第N＋1维空间，在功率极限点（简单奇点）处不再奇异。利用新的潮流方程组可以求出整支PV曲线，而不会遇到潮流发散的问题。
　　由于采用了弧长或伪弧长公式作为负荷增长率λ的控制方程，使该方法对于λ的变化采取了自动变步长的方法。在负荷较低时，电压变化率ΔX较小，相应的负荷增长率Δλ就比较大；而当接近于功率极限点时电压变化率突然增大，对应的负荷增长率变小，曲线上的点就比较密。方程中弧长Δs的确定对程序有一定影响：若Δs取得较大，则PV曲线在极限点附近不够光滑，极限点也有一定误差（但相对其他方法误差仍然不大），弧长太大有可能导致方程无解；若取得太小，虽然曲线光滑，极限点也很精确，但运算量很大。程序中在每步潮流运算之后求取常规雅可比矩阵的奇异值，以确定当前点离极限点的距离。以较大的弧长开始迅速通过低负荷PV曲线较平坦的部分，当常规雅可比矩阵的最小奇异值小于一定值之后，减小弧长的值使求得的曲线细密精确。由于奇异值分析对系统电压稳定的分析控制也有重要意义^［6］，所以相对而言弧长控制在程序中非常容易。
　　为加快程序运行速度，引入了预估校正技术^［7］。先通过插值法对下一个潮流值进行预估，再由潮流方程进行求解校正，使得运算速度大大加快，一般2到4次迭代就可以得到精确结果（ε＝10^－5）。

3　崩溃点处的系统控制

　　由系统的奇异值分析可以知道，在系统的鞍结分岔点，雅可比矩阵D_xf(x_*,λ_*)有一个单独的零特征值，其对应有一个左特征矢量w^T满足：

　　　　　w^T.D_xf(x_*,λ_*)＝0　　　　　　(7)

　　这里D_xf(x_*,λ_*)有N－1个有负实部的非负特征根，它们对应的右特征矢量v^T在状态空间通过鞍结分岔点x^*张成N－1维超平面TW^s(x_*)。该平面是系统稳定流形W^s(x_*)在鞍结分岔点x^*的切平面。
　　由特征矢量的定义可以知道：

　　可见w^T垂直于W^s(x_*)在鞍结分岔点的切平面TW^s(x_*)，它是该点的法矢量。因此，在系统接近电压崩溃时在w^T的方向上系统离稳定边界最近，在此方向上的稳定裕度也最小。而按w

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