区间三角样条小波（ITSW）及其在电机 故障

区间三角样条小波（ITSW）及其在电机
故障信号边界问题处理中应用

胡国胜1，2，任震1，黄雯莹1，朱锋峰1

（1．华南理工大学电力学院，广州510640；
2．广东省科技干部学院，广州510640）

    摘  要：首先构造了区间上三角样条小波，并将它应用到电机故障信号的检测中，很好地解决了一些传统的著名小波，如Symmlet小波、Daubechies小波、Coiflets小波、Meyer小波等以及一些常用处理边界的方法，如区间外数据补零、对称延拓、平滑法和周期延拓方法等不能解决的边界效应问题。区间三角样条小波具有对称性，因而具有线性相位。在电机故障信号分解和重构中比补零法、对称延拓法、平滑法和周期延拓法精度高。
    关键词：区间三角样条小波；　小波变换；　电机故障信号；　边界效应

1　引言　　
　　小波变换时频域具有良好的局部化性能，因而较Fourier变换能更好地刻画电力系统突变信号瞬态特征。小波变换在电力系统中的应用集中于对故障信号分析与处理上，包括突变信号的检测、突变点的定位和故障诊断。实际分析是对电力系统故障信号进行采样，得到有限待分析的采样数据，采样后的有限区间上的信号在端点处的值明显发生突变。但现有的小波函数，如Symmlet小波、Daubechies小波、Coiflets小波、Meyer小波等，在实际应用时，当分析信号的边界点无奇异时，其小波变换也存在模极大值，即存在边界效应，而且小波系数存在振荡。这样，当故障点恰好落在采样信号边界点旁边时，就很难判断边界点旁边的模极大值是否是由信号本身的奇异性所引起的。为了消除这种现象，解决问题的方法之一是增加数据采集窗的宽度，但却极大地增加了计算量，不利于实时分析。如文献［1］中为了分析3 ms的数据量，采用了9 ms宽度的数据采集窗。另一种方法是采用延拓方法。如文献［2～5］大多采用区间外数据补零、对称延拓、平滑等延拓方法；构造特定的小波变换如Matlab软件包中周期小波变换（dwtper（））或文献［6］中提及的平均插值小波变换，把边界附近的多项式进行适当外延，来求解边界处的小波变换系数，从而具有边界自动校正特点等。以上这些方法没有真正很好地利用区间给定的数据来解决边界问题而且重构后的信号的误差较大。寻找一种有别于已有的小波并能真正解决边界问题的
区间小波变换是完全必要的。
　　过去人们构造区间小波的方法主要是折叠方法，如Meyer曾利用Daubechies小波构造正交区间小波、梁学章先生在文献［7］中提出由B样条小波构造成的区间双正交小波以及徐淑珍构造的平均插值小波［8］等。它们的主要思想是将区间小波函数折叠到区间内。本文构造区间小波的思想与它们截然不同，它是通过在端点处设置重叠节点，巧妙地构造区间上的三角样条小波。利用其边界校正的优点，对信号进行分析，可彻底消除这种现象，减少了计算量，提高了电力系统故障检测的准确性。
2　区间三角样条小波
   与基数B样条一样，一阶三角样条TS1（n＝1）是定义在［0，1）区间的特征函数χ［0，1）（x）：


　　这样式（3）求得的Tn（x）为n阶三角样条函数TSn。以n阶基数三角样条函数作为尺度函数构造别为TS1～TS4的图像：

　　由文［10］知，基数三角样条函数和基数B样条函数的图像完全相同，都为对称“钟形”函数。令ti＝i／2，τi＝i，i＝0，1，2，…，t＝｛ti＝i／2，i＝1，2，...},τ={τi=i,i=1,2,...}而且s=t-τ或t=τ∪s。记St为以节点t＝｛ti＝i／2，i＝1，2，…｝构成的样条空间，Sτ为以节点τ＝｛τi＝i，i＝1，2，…｝构成的样条空间。显然有Sτ⊂St。空间Sτ在空间St中的正交补为Wτ，St＝Sτ⊕Wτ。子空间Sτ中的三角样条是

　　其中Tn（x）是节点为｛0，1，2，…，n｝的三角样条，T（n）／2（x）是节点为｛0，1／2，1，…，n／2｝的三角样条。定义



　　上式表明，一阶（零次）三角样条小波TSW1恰好就是Harr小波，这与B样条小波推导结果是完全一致的［9］。当n＝2时，w1～w5的值分别为：

    定理1 对任意n∈Z+,(6)、(7)定义的φn(x)是小波函数，并称之为n阶三角样条小波TSWn。图2列出了1～4阶三角样条小波时域波形。
　　从图2可看出，三角样条小波函数ψn（x）对n＝1，3奇数时，呈反对称性；对n＝2，4偶数时呈对称性。事实上，由Tn（x）的对称性和系数公式（7）的对称性知，对所有的n，小波函数ψn（x）具有对称性或反对称性。因而ψn（x）具有线性相位或广义线性相位［9］。
定理2　对所有的正整数n，三角样条小波函数ψn（x）对于偶数n是对称的，ψn（x）＝ψn（2 n－x）；而对于奇数n是反对称的，ψn（x）＝－ψn（2n－1－x）。因此，它们具有线性相位（对于偶数n）和广义线性相位（对于奇数n）。
　　上述构造的三角样条小波不仅能在2jZ节点上，而且在任意节点构造三角样条小波，如式（2）和（3）。这给我们构造区间上三角样条小波带来很大方便。比如，我们要构造L2［0，1］上的三角样条小波，可以在端点处设置多重节点，这也是样条构造的常用处理方法。
定义3［10］　对固定的j∈Z＋，令区间［0，1］上的节点


其中，ψn（t）是n阶三角样条小波。
　　对于端点0有下面引理5得到。
引理5　对所有满足条件2j≥2n－1的j∈Z，存在n－1个端点0的边界小波，它们的表达式为

　　根据三角样条构造内在对称性，通过代换ψj，2j－2n＋1－k（t）：＝ψj，k（1－t）后，就能得到端点1处的边界小波函数。归纳起来，得到下面定理6。
定理6　如果2j≥2n－1，则维数为2j的区间小波空间是由下列函数张成：（1）引理4中的内部小波ψj，k，k＝0，…，2 j－2n＋1；（2）引理5中端点0边界小波ψj，k，k＝－n＋1，…，－1以及经变换后的端点1处边界小波ψj，k，k＝2j－2n＋2，…，2j－n。它们统称为区间三角样条小波（ITSW）。
　　图3显示在节点t（2）＝｛0，0，1／4，1／2，3／4，1，1｝上构造的2阶内部三角样条小波ψ2，0、ψ2，1和边界三角样条小波ψ2，－1、ψ2，2。

3　算例分析
3．1　故障信号边界附近突变点检测
    早期的小波都是定义在无穷区间上的，而实际问题常常是有限区间的。如电力系统中采样的故障信号。一般的文献处理方法大致有两种［2～6］：（1）将有限区间上的数据向区间外延拓，如补零方法、对称延拓方法、平滑方法以及周期延拓方法；（2）构造区间小波，如区间周期小波、折叠小波、平均插值小波等。著名的工具集成软件包Matlab正是基于上述处理方法。一般来说，这些方法对不在端点附近的点都能较好地处理，但对于边界点及其附近点来说都存在很大的误判，如将正常点判为故障点（突变点）或者相反，这些都是因为算法本身的缺陷所致，本文的区间三角样条小波能从根本上解决这一问题。

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