原码、反码和补码

    数值在计算机中表示形式为机器数,计算机只能识别0和1,使用的是二进制,而在日常生活中人们使用的是十进制,"正如亚里士多德早就指出的那样,今天十进制的广泛采用,只不过我们绝大多数人生来具有10个手指头这个解剖学事实的结果.尽管在历史上手指计数(5,10进制)的实践要比二或三进制计数出现的晚."(摘自<<数学发展史>>有空大家可以看看哦~,很有意思的).为了能方便的与二进制转换,就使用了十六进制(2 4)和八进制(23).下面进入正题.

 数值有正负之分,计算机就用一个数的最高位存放符号(0为正,1为负).这就是机器数的原码了.假设机器能处理的位数为8.即字长为1byte,原码能表示数值的范围为

(-127~-0 +0~127)共256个.

   有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下: 假设字长为8bits

( 1 ) ₁₀-  ( 1 )₁₀ =  ( 1 )₁₀ + ( -1 )₁₀ =  ( 0 )₁₀

(00000001)_原 + (10000001)_原 = (10000010)_原 = ( -2 ) 显然不正确.

    因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码.反码的取值空间和原码相同且一一对应. 下面是反码的减法运算:

 ( 1 )₁₀ -  ( 1 ) ₁₀=  ( 1 ) ₁₀+ ( -1 ) ₁₀=  ( 0 )₁₀

 (00000001) _反+ (11111110)_反 =  (11111111)_反 =  ( -0 )  有问题.

( 1 )₁₀ -  ( 2)₁₀ =  ( 1 )₁₀ + ( -2 )₁₀ =  ( -1 )₁₀

(00000001) _反+ (11111101)_反 =  (11111110)_反 =  ( -1 ) 正确

 问题出现在(+0)和(-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的.(印度人首先将零作为标记并放入运算之中,包含有零号的印度数学和十进制计数对人类文明的贡献极大).

 于是就引入了补码概念. 负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的.在补码中用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围为:

(-128~0~127)共256个.

 注意:(-128)没有相对应的原码和反码, (-128) = (10000000)  补码的加减运算如下:

( 1 ) ₁₀-  ( 1 ) ₁₀=  ( 1 )₁₀ + ( -1 )₁₀ =  ( 0 )₁₀

(00000001)_补 + (11111111)_补 =  (00000000)_补 = ( 0 ) 正确

( 1 ) ₁₀-  ( 2) ₁₀=  ( 1 )₁₀ + ( -2 )₁₀ =  ( -1 )₁₀

(00000001) _补+ (11111110) _补=  (11111111)_补 = ( -1 )  正确

   所以补码的设计目的是:

     ⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.

⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计 

    所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都是原码。看了上面这些大家应该对原码、反码、补码有了新的认识了吧！

1、运算规则

[X＋Y]_补= [X]_补＋ [Y]_补
[X－Y]_补= [X]_补＋ [－Y]_补

若已知[Y]_补，求[－Y]_补的方法是：将[Y]_补的各位（包括符号位）逐位取反再在最低位加1即可。
例如：[Y]_补= 101101 [－Y]_补= 010011 

2、溢出判断，一般用双符号位进行判断：

符号位00 表示正数 11 表示负数
结果的符号位为01时，称为上溢；为10时，称为下溢

例题：设x=0.1101，y=－0.0111，符号位为双符号位
用补码求x+y，x－y 
[x]补+[y]补=00 1101+11 1001=00 0110 
[x－y]补=[x]补+[－y]补=00 1101+00 0111=01 0100
结果错误，正溢出

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