超高压输电线路是电能传输的重要设备，研究高速、准确的故障检测新技术具有实用价值［1］。小波分析技术具有良好的时间局部性和频域局部性，目前，在众多领域的应用正得到深入的研究。小波理论在输电线路故障诊断中的应用研究有待进一步探讨［2］。
2.1 小波变换定义
基小波或母小波是指满足容许性条件的函数
。基小波通过伸缩和平移得到一组小波基函数
(1)
式中 a为频率因子; b为时间因子。
实际常用离散二进小波,即a＝2－j，b＝2－jkb0(b0为固定抽样率)。定义实函数f(t)∈L2(IR)的离散二进小波变换为
(2)
则f(t)可分解为
(3)
式中 cj，k为小波系数。
2.2 小波快速分解算法
为尺度函数，φj，k(t)为相应小波函数。
为j，k(t)和φj，k(t)的两尺度关系。小波快速分解算法可表达为
(4)
式(4)即Mallat算法,或称金字塔算法。式中cj，k和dj，k分别为在2j分辨率下的离散逼近和离散细节。该式指出，可以通过递推实现f(t)不同尺度的小波分解。
为保证故障处理的实时性，选择紧支小波。设分解序列为
则将Mallat算法改写为矢量形式
cj＋1，m＝a(cj1，m)T, dj＋1，m＝b(cj2，m)T
(5)
式中 cj1，m＝［c2m，c2m＋1，…，c2m＋n1］，
cj2，m＝［c2m，…，c2m＋n2］
式(5)表明，第j阶的小波分解，只需与小波分解序列进行矩阵相乘运算就可求出第j＋1阶的小波分解，其计算时间仅取决于滤波器的宽度。
2.3 小波基函数的选取和小波滤波器的设计
本文选取具有简洁表达式和线性相位的基数
B-样条函数为尺度函数。则分解序列为
a＝［0.25,0.75,0.75,0.25］；
b＝［0.0021,－0.0604,0.3188,－0.6438,
0.6438,－0.3188,0.0604,－0.0021］。
a和b为本文选取的滤波器，具有有限冲激响应，无需截断即可用于信号分解，因其为有限系数，可采用式(5)进行小波分解，(无须用递推的方法)，保证了分解的实时性。
2.4 信号的检测算法
奇异信号的出现往往代表了故障的发生。而小波变换的模极大值点对应着采样数据的奇异点。由于噪声的模极大值随着分解尺度的增加而衰减，所以经过适当的尺度分解后，再采用一定的阀值以消除噪声的影响［4］。这里采用3尺度分解，算法框图如图1所示。
图1 故障信号小波检测框图
Fig.1 the wavelet detecting block diagram of fault signal
当输电线路某点d发生接地故障时，相当于在d点加上一个与故障前大小相等方向相反的附加电源，在其作用下产生向线路两侧传播的电流行波和电压行波。假定t＝0时d点发生故障，行波到达测试点的时刻为t1，由于测试点阻抗的不连续，这列行波反射回故障点，然后又以同样的原因反射回来。假设回到测试点的时刻为t2。那么
l＝(t2－t1)/2×v
(6)
式中 v为行波的波速；l为保护区长度。
T为行波自保护区末端出发,第一次到达测试点所花费的时间,则可将故障判据总结如下：
若t2－t1≤2T＝2×l/v,则判定为区内故障；否则，超过时限，判定为区外故障或无故障。其算法框图如图2所示。
图2 单相故障判断与定位框图
Fig.2 the block diagram single-phase fault decision and LOCAIION
4.1 三相线路故障检测算法
对于三相线路，通过模变换去掉各相电磁耦合，从相空间变换到模空间。针对三相平衡线路，本文采用凯伦布尔变换。在模空间中，由于各模量独立，所以可以采用单相线路的方法分别对各模量进行分析。只要能由两个模量判断出故障，即可判定故障，由于计算误差及实际现场的采样误差等因素，由各模量计算出的故障距离会略有不同。因此，故障距离取各模量计算出的故障距离的平均值，然后根据各模量的第一个小波变换模极大值选相。三相线路故障检测算法步骤为：①输入各相电流数据；②模量变换，得到各模量电流；③对3个模量电流分别处理；④若有两个模量判断为故障，则判定为故障，并计算出故障距离；⑤)若有故障，调用选相子程序，否则返回1；⑥输出故障距离、故障类型和故障相。
4.2 选相
这里设i0、iα、iβ、ia、ib和ic的第一个模极大值分别为I0、Iα、Iβ、Ia、Ib和Ic。假定c相发生接地短路故障，由于相间耦合，在a、b相线路上也获得相应的行波电流，而且ib＝ia。根据凯伦布尔变换
(7)
以类似的分析，得到表1所示的结果(为了方便起见，将系数1/3提出)
表1 不同故障类型的模量极大值特征
Tab.1 The modular maximums characteristic of different fault type
故障类型
3I*0
3I*α
3I*β
a0
Ia
Ia
Ia
b0
Ib
－Ib
0
c0
Ic
0
－Ic
ab
0
2Ia
Ia
bc
0
－Ib
Ib
ca
0
Ia
2Ia
ab0
Ia＋Ib
Ia－Ib
Ia
bc0
Ib＋Ic
－Ib
－Ic
ca0
Ia＋Ic
Ia
Ia－Ic
abc
0
Ia－Ib
Ia－Ic
按照以上分析和选相原理，得到如图3所示的选相流程图。
图3 选相流程图
Fig.3 The flow process diagram for phase selection
5.1 故障暂态波形的计算
图4为一简化电力系统模型。线路分两段,端点2模拟故障点。τ1、τ2为波行进时间设线路波阻Z＝400Ω。电流互感器L＝0.1mH，负载RT＝2000Ω，三相电源幅值E＝500kV。波速v取光速；模速度v0＝0.5590v,vα＝vβ＝1.6920v。接地阻抗和相间短路阻抗取10Ω。
图4 电力系统简化模型
Fig.4 Simplified model for power system
采用贝瑞隆法将三相分布线路转化为集中参数线路，再列出节点方程，求出故障后的暂态过程［5］。下图为三相短路接地时故障检测过程波形图。
图5 故障发生后5ms内三相电流波形
Fig.5 The current waveform of three-phase after fault
图6中，在一些局部时域中出现模极大值，说明该时域有异常事件发生。从该时域选取一个占优的模极大值，足以代表该时域的特征。另外，采用一个阀值将较小的模较大值滤掉，以排除计算误差或干扰的影响。经处理后的3尺度小波变换结果如图7所示。
图6 3尺度小波变换
Fig.6 3－scale wavelet transform
图7 处理后的小波变换结果
Fig.7 The transformation result processed
5.2 仿真结果
这里给出单相接地、两相相间短路、两相相间对地短路、三相短路和三相接地短路等5例不同故障类型的仿真结果如表2、表3所示。
表2 定位结果
Tab.2 Locating results
序号
故障类型
故障距离/km
检测距离/km
检测时间/ms
1
b0
75.000
74.794
1.339
2
ab
66.000
65.480
0.387
3
ca0
66.000
66.242
1.185
4
abc
66.000
65.998
0.390
5
abc0
66.000
65.998
0.390
表3 选相结果
Tab.3 Phase-selection results
序号
故障类型
I0
Iα
Iβ
判断故障类型
1
b0
191.23
－190.78
0
正确
2
ab
0
182.27
91.48
正确
3
ca0
－379.65
－190.38
0
正确
4
abc
0
205.12
205.05
正确
5
abc0
0
362.34
361.96
正确
5.3 仿真结果分析
仿真试验中，最大误差为0.8%，随着线路长度的增加，绝对误差会有所增大。检测时间近似由
确定，其中对于单相接地故障和两相接地故障，
为大地行波速度，l为故障距离；对于两相相间故障和三相故障，
为相间波速度。对于不同的情况，能够正确地判断故障类型和选相。
本文提出了基于小波理论的超高压输电线路故障定位和选相方法，采用0、α、β三个模量进行选相，简化和完善了选相流程图。理论分析和仿真结果说明，所提出的方法，能准确地计算出故障距离并正确地判断出故障类型和选相. 本文提出的小波滤波器和改进的小波分解快速算法实时性好；定位公式与选相方法可靠，实现简单。
作者简介：危韧勇(1962-)，男，副教授，从事牵引供电系统、小波理论及应用方面的研究；
刘春芳(1971-)，男，硕士研究生。
作者单位：危韧勇（长沙铁道学院，湖南省 长沙市 410075）
刘春芳（武汉网能信息技术有限公司，湖北省 武汉市 430074）
［1］ 贺家李、葛耀中.超高压输电线路故障分析与继电保护［M］. 北京：科学出版社.1987:24.
［2］ 董新洲，等.小波分析应用于电力系统故障信号分析初探［J］. 中国电机工程学报. 1997,17(6): 421～424.
［3］ ［美］崔锦泰.小波分析导论［M］.西安：西安交通大学出版社. 1995.
［4］ Mallat S，WenLianng H. Singularity detection and processing with wavelets［J］.IEEE Trans Inform theory, 1992,38(2):617.
［5］ ［日］关根泰次.电力系统暂态解析论［M］. 北京：机械工业出版社，1990
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