（2）离散控制系统：离散系统中的信号为脉冲序列或数码的形式，描述它的数学模型是差分方程。按离散信号产生的方式不同，它可分为开关控制系统、采样控制系统、数字控制系统等形式。
3、按元件特性来分：
可分为线性系统和非线性系统。线性系统是指具有叠加性和齐次性的系统，否则为非线性系统。叠加性是指当有几个输入信号同时作用于系统时，系统的总响应（输出）等于每个信号单独作用所产生的响应之和，即若u1（t）、u2（t）产生的输出分别是y1（t）、y2（t），则当u1（t）+u2（t）作用于系统时，系统的输出为y1（t）+y2（t）。齐次性是指当输入信号乘以某一倍数作用于系统时，系统响应也在原基础上放大同一倍数，即若输入u（t）产生y（t）输出，则ku（t）产生的输出为ky（t）。
4、按自动控制的系统功能分：
（1）自动调节系统：自动调节系统即恒值控制系统。
（2）最优控制系统：最优控制系统指控制系统实现对某种性能指标为最佳的控制。
（3）自适应控制系统：自适应控制系统是一种能连续测量输入信号和系统特性的变化，自动地改变系统的结构与参数，时系统具有适应环境的变化并始终保持优良品质的自动控制系统。
（4）自学习系统：自学习系统具有辨识、判断、积累经验和学习的功能。
四、自动控制系统的数学模型
控制过程是一个动态过程，当系统的输入量发生变化时，系统呈现出从初始状态向新的稳定状态过渡的过程。
数学模型用来描述系统中各种信号或变量的传递和转换关系，它是系统动态特性的数学描绘。描绘的基本工具采用微分方程和差分方程。
（一）数学模型的建立步骤和建立途径
建立数学模型简称建模。建模有两种途径，即机理建模和统计建模。前者是根据系统本身的运动规律来建模；而后者是根据系统的输入、输出数据，利用统计学的方法来建模。
建模必须遵循一定的原则和步骤，建立系统的数学模型的步骤为：
1、建立物理模型。将实际系统作简化处理，如将变参数定常化、非线性参数线性化、分布参数集中等。简化时注意模型的准确性，简化后的模型通常是一个线性微分方程式。
2、列式。利用物理规律建立各物理量之间的数学关系。
3、求解。消去中间变量，求得输入量与输出量之间函数关系的状态方程式。
（二）数学分析工具
分析和设计自动控制系统的首要任务是建立系统的数学模型。一旦获得系统的数学模型，就可以采用多种不同的方法对控制系统的各种状况进行分析。传递函数和频率特性函数则成为两种重要的数学分析工具。
1、基本概念：
（1）时域响应：在系统中输入典型信号如脉冲函数、单位阶跃函数、斜坡函数、抛物线函数等，分析系统的输出随时间的变化规律，称为时域响应；
（2）频域响应：分析系统输出、输入幅值之比与频率的关系及输入、输出相角的差值与频率的关系，称为频域响应；
（3）传递函数：在零初始条件下，线性定常系统输出量的象函数与输入量的象函数之比，称为系统的传递函数；
（4）典型环节：实际的物理系统无论有多复杂，都可以看成一些基本要素组成的，这些基本要素称为系统的典型环节。例如放大环节、 惯性环节、 积分环节、 微分环节和延时环节。
（5）典型环节的频率特性函数：频率特性函数是系统频率特性的一种频域刻画，函数的自变量是频率ω。
（6）对数频率特性图：对数频率特性图也称为波德（Pode）图。它通过两张图——幅频特性图和相频特性图——来表达频率响应。对数频率特性图是频率相应中常见的一种表达方式。
2、典型环节的传递函数
① 放大环节：放大环节又称为比例环节，其输出量与输入量成正比。运算放大器、齿轮传动变速箱、分压器等都可以看成是比例环节。框图如图2-4-4，传递函数为
（2-4-1）
② 惯性环节 惯性环节的运动方程为 ，传递函数为
（2-4-2）
惯性环节的框图如图2-4-5。惯性系统中因含有储能元件，故对突变的输入信号不能立即复现，当输入量r（t）作阶跃变化时，输出量c（t）按指数规律变化。实际系统中可用惯性环节建模的对象有液位系统、电热炉、直流电机等。
③ 积分环节：积分环节的微分方程式为 ，对应的传递函数为
（2-4-3）
积分环节的输出量与输入量的积分成正比。当输入量为单位阶跃函数时，输出量随时间线性增长。T越小，增长得越快。当信号突然消失，输出量则维持不变。故积分环节具有记忆功能。理想放大器可以构成积分环节。
④ 微分环节：微分环节的微分方程为 。传递函数为
（2-4-4）
当输入为单位阶跃信号时，微分环节的输出是一个幅值为无穷大而时间宽度为零的理想脉冲信号。电容、电阻串联电路，可近似看成为微分电路。
⑤ 延时环节：延时环节微分方程为 。传递函数为
（2-4-5）
式中τ为延时时间，经过τ时间间隔，输出才复现输入信号。输油管道中油的流量的描述即为一个延时环节。
（三）建模举例
以工业炉温自动控制系统（图2-4-6）为例，说明建立系统的数学模型的步骤如下：
工业炉温自动控制系统是通过电机的转速来控制燃料供应阀的阀门开度，温度偏低，电机转速加快，阀门开度加大，反之减慢。
工业炉具有较大延时特性，炉温具有较大惯性，采用前面的方法建模（图2-4-7）后发现，K值选取过大，炉温出现大幅度振荡，过小，系统反应迟钝。
应用采样控制可以较好地解决这个问题。采样控制是用采样器将连续信号e（t）转变为周期性的离散信号e*（t），误差信号只在很小的τ秒时间内被用来驱动电机，控制阀门开度，温度调节过头的可能性大大降低。
建立采样模型后，再求取脉冲传递函数，最后得到相应的差分方程。
五、系统性能分析
自动控制系统能否很好地工作，取决于受控对象与控制装置之间、各功能元件之间是否匹配得当。一个高质量自动控制系统，首先得保证系统是稳定性的，其次考虑系统反应的快速性及精度等问题。
控制系统在受到扰动之后偏离了原来的平衡状态，扰动消失，经过充分的时间后若系统能恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的，相反，则是不稳定的。对于一般的控制系统，可以通过研究相应的微分方程的解来讨论系统的稳定性。通过研究发现，若微分方程对应的特征方程的所有根都有负实部，即闭环传递函数的极点均位于S平面虚轴的左侧，则系统是稳定的；若有一个或一个以上的根是正实部，其余是负实部，则系统是不稳定的；若有一个为零，其余是负实部，系统将出现等幅振荡的现象。对于高阶方程，实际上很难求解，上述方法只有理论上的意义。劳斯（Routh）、霍尔维茨（Hurwitz）、朱利（Jury）、奈奎斯特（Nyquist）等人在不能确定系统方程或不能解系统方程的情况下，利用数学工具，寻求稳定判据，判断系统稳定性。
六、系统设计
在设计自动控制系统时，通常用两种方法：一种是系统综合，这种方式预先给出某种设计指标（通常是以严格的数学形式给出），然后确定某种控制形式，并通过解析的方式找到满足预定指标的控制器。另一种是系统校正，具体步骤为：先确定控制系统的期望性能指标（如控制精度、阻尼程度、响应速度等），并根据这些性能指标计算出开环系统特性，然后比较期望值与实际值，根据比较结果确定在开环系统中增加某种校正元件，并计算出校正元件的参数值。
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