到的m位消息的校验码，再与收到的校验码比较。接收端也可以用收到的全部m + r位除以生
成多项式，再判断余数是否为0。这是因为，M' + R = (QG + R) + R = QG，这里Q是商。显
然，它也可以像发送端一样，在全部m + r后再增加r个0，再除以生成多项式，如果没有差错
发生，余数仍然为0。
3.生成多项式的选择
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很明显，不同的生成多项式，其检错能力是不同的。如何选择一个好的生成多项式需要一定
的数学理论，这里只从一些侧面作些分析。显然，要使用r位校验码，生成多项式的次数应为
r。生成多项式应该包含项"1"，否则校验码的LSB(Least Significant Bit)将始终为0。如果
消息(包括校验码)T在传输过程中产生了差错，则接收端收到的消息可以表示为T + E。若E不
能被生成多项式G除尽，则该差错可以被检测出。考虑以下几种情况： 1)1位差错，即E = x^n = 100...00，n >= 0。只要G至少有2位1，E就不能被G除尽。这
是因为Gx^k相当于将G左移k位，对任意多项式Q，QG相当于将多个不同的G的左移相加。
如果G至少有两位1，它的多个不同的左移相加结果至少有两位1。
2)奇数位差错，只要G含有因子F = x + 1，E就不能被G除尽。这是因为QG = Q'F，由1)
的分析，F的多个不同的左移相加结果1的位数必然是偶数。 3)爆炸性差错，即E = (x^n + ... + 1)x^m = 1...100...00，n >= 1，m >= 0，显然只 PLC
要G包含项"1"，且次数大于n，就不能除尽E。
4)2位差错，即E = (x^n + 1)x^m = 100...00100...00，n >= 0。设x^n + 1 = QG + R，
则E = QGx^m + Rx^m，由3)可知E能被G除尽当且仅当R为0。因此只需分析x^n + 1，根
据[3]，对于次数r，总存在一个生成多项式G，使得n最小为2^r - 1时，才能除尽x^n
+ 1。称该生成多项式是原始的(primitive)，它提供了在该次数上检测2位差错的最高
能力，因为当n = 2^r - 1时，x^n + 1能被任何r次多项式除尽。[3]同时指出，原始
生成多项式是不可约分的，但不可约分的的多项式并不一定是原始的，因此对于某些
奇数位差错，原始生成多项式是检测不出来的。
以下是一些标准的CRC算法的生成多项式：
标准 多项式 16进制表示
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CRC12 x^12 + x^11 + x^3 + x^2 + x + 1 80F
CRC16 x^16 + x^15 + x^2 + 1 8005
CRC16-CCITT x^16 + x^12 + x^5 + 1 1021
CRC32 x^32 + x^26 + x^23 + x^22 + x^16 + x^12 + x^11 04C11DB7
+ x^10 + x^8 + x^7 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1 PLC资料网
16进制表示去掉了最高次项，CCITT在1993年改名为ITU-T。CRC12用于6位字节，其它用于8位
字节。CRC16在IBM的BISYNCH通信标准。CRC16-CCITT被广泛用于XMODEM, X.25和SDLC等通信
协议。而以太网和FDDI则使用CRC32，它也被用在ZIP，RAR等文件压缩中。在这些生成多项式
中，CRC32是原始的，而其它3个都含有因子x + 1。
4.CRC算法的实现
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要用程序实现CRC算法，考虑对第2节的长除法做一下变换，依然是M = 11100110，G = 1011，
其系数r为3。
11001100 11100110000 PLC资料网
------------- 1011
1011 )11100110000 -----------
1011....... 1010110000
----....... 1010110000
1010...... 1011 PLC资料网
1011...... ===> -----------
----...... 001110000
1110... 1110000
1011... 1011
----... -----------
PLC资料网 1010.. 101000
1011.. 101000
---- 1011
100 <---校验码 -----------
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